The Negligible Lab

Drowning in the sea of electrical and electronic circuits. Lost in the forest of computers and programs. 独立独歩を是とする。

数値表現のインピーダンスをα-β座標系からd-q座標系に移す

はじめに

前記事にて三相LCL回路のd-q座標系におけるインピーダンスをHarnefors氏の論文に基づいて(SymPyの力添えを拝借しながら)導出し,LTspiceによる周波数スキャン(frequency response analysis, FRA)の結果と一致することを確認しました。

negligible.hatenablog.com

その際,今後の議論として以下のような宿題が残りました。

もし,(静止座標系でのインピーダンスである)Zs(s)のトポロジーや回路定数が分からず,したがって数式表現が未知であり,例えばインピーダンスアナライザでの測定結果のようにZs(jω)の数値データだけが手元にあった場合,これを使ってd-q座標系でのインピーダンスZd(jω),Zq(jω)を(近似でもよいので)得ることはできるでしょうか?

前記事を書き終えた時点では,「Zs(jω)の数値データからシステム同定の手法にてZs(s)の数式表現を推定するしかないのではないか」と考えておりました。とは言え,筆者自身でもZs(s + jω)をZs(s)の周りでテイラー展開してみたりと試行錯誤を繰り返していました。

そんな中,ノルウェー科学技術大学のAtle Rygg氏の学位論文(下記リンク参照。以下,「Rygg氏の学位論文」と呼びます)において,d-q座標系,修正対称座標系(modified sequence domain),従来の対称座標系で表現したインピーダンスの間の関係が整理されており,それらの間の座標変換について,簡潔にまとまられていることを見つけました。

ntnuopen.ntnu.no

(PDF) Impedance-based methods for small-signal analysis of systems dominated by power electronics

これを用いればZs(jω)の数値データからd-q座標系でのインピーダンスZd(jω),Zq(jω)を簡便に計算できることが分かりました。前記事にて取り扱った三相LCL回路に適用してみましたので,本記事にて紹介致します。

また,筆者なりにHarnefors氏の論文とRygg氏の学位論文の比較考察をしてみましたので,馬鹿げた記述かもしれませんが一応書いておきます。

結論

まず結論をざっと示します。静止(α-β)座標系でのインピーダンスがZs(s)である場合(三相平衡を仮定します。また上付きsはstationary = 静止座標系を意味します),Harnefors氏の論文に基づいてd-q座標系に移す場合,

 \begin{align}
Z_{d}(s) &= \mathrm{Re} \left [ Z^{s}(s + j \omega_{1}) \right ] \\[10pt]
Z_{q}(s) &= \mathrm{Im} \left [ Z^{s}(s + j \omega_{1}) \right ]
\end{align} \tag{1}

と計算することができます。d軸とq軸にインピーダンスを分けるには,(1)式右辺のZs(s + jω1)の実部と虚部を(ラプラス演算子sはひとまず実数と見なして)計算する必要があります。しかし,もともとのZs(s)の数式表現が手元になく,周波数伝達関数としてのZs(jω)の数値データしか入手できない場合,(1)式に相当する計算は難しそうに見えます。

しかし,Rygg氏の学位論文によれば,何とZs(jω)から

 \begin{align}
Z_d(j \omega) &= \frac{Z^{s}(j (\omega + \omega_{1})) + Z^{s}(j (\omega - \omega_{1}))}{2} \\[10pt]
Z_q(j \omega) &= \frac{Z^{s}(j (\omega + \omega_{1})) - Z^{s}(j (\omega - \omega_{1}))}{2j}
\end{align} \tag{2}

のように簡単に計算することができます。そう,Zs(jω)の周波数をω1だけ両方向にシフトしたものを作り,その和を2で除したもの(つまり平均)がd軸成分,その差を2jで除したものがq軸成分となります。以下,実際にやってみましょう。

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三相LCL回路のd-q座標系におけるインピーダンスを求める

はじめに

系統連系インバータと電力系統の相互作用によって,システムが不安定になることがあります。本ブログでは,過去の記事にて電流制御系と系統インピーダンスの相互作用について検討したことがあります。系統連系インバータの外乱応答(インピーダンス)と系統インピーダンスの比のナイキスト線図を描くことによって,電流制御系の安定性を論じることができました。しかし,この記事では単相の場合しか取り扱っておりませんでした。三相の場合はどのように考えるべきでしょうか。

negligible.hatenablog.com

三相系統連系インバータは大体においてd-q(回転)座標系で制御することが一般的であり,かつ,d軸とq軸で別々の制御を行っています。したがって,三相系統連系インバータはd-q座標系で不平衡なインピーダンスとなることでしょう。そのため,一般的に三相平衡に近いと考えられる系統インピーダンスの方を三相(あるいはα-β(静止)座標系)からd-q座標系に換算して表現するのが好適と考えられます。

しかし,不幸にして筆者は,RL直列回路以外の一般のインピーダンスをd-q座標系で表現する方法を,よくよく考えてみると知りませんでした。その必要性があること自体を想像できておらず,自らの不明を恥じ入っております。

そこで,本記事では,任意のインピーダンスをd-q座標系で表現する手法について,文献を紹介しながら説明します。また,一例として三相LCL回路のインピーダンスのd-q座標系における表現を導出し,これをLTspiceでの周波数スキャン(frequency response analysis, FRA)と比較検証することとしました。

任意のインピーダンスの場合と文献紹介

任意のインピーダンスのd-q座標系での表現

まず,ずばり結論を述べます。あくまでも三相平衡の場合を前提としますが,s領域において,三相座標系での自己インピーダンスがZs(s),相互インピーダンスがZm(s)である場合,次式が成り立ちます。

 \begin{bmatrix}
V_{a}(s) \\ V_{b}(s) \\ V_{c}(s)
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
Z_{s}(s) & Z_{m}(s) & Z_{m}(s)  \\
Z_{m}(s) & Z_{s}(s) & Z_{m}(s) \\
Z_{m}(s) & Z_{m}(s) & Z_{s}(s)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{a}(s) \\ I_{b}(s) \\ I_{c}(s)
\end{bmatrix} \tag{1}

上式をα-β座標系で表現すると,

 \begin{bmatrix}
V_{\alpha}(s) \\ V_{\beta}(s)
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
Z^{s}(s) & 0  \\
0 & Z^{s}(s)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{\alpha}(s) \\ I_{\beta}(s)
\end{bmatrix} \tag{2}

となって,α軸とβ軸の干渉はなくなります。ただし,

 Z^{s}(s) = Z_{s}(s) - Z_{m}(s) \tag{3}

であり,上付きsはstationary = 静止座標系を意味します。これを角速度ω1で回転するd-q座標系で表現した場合,次式となります。

 \begin{bmatrix}
V_{d}(s) \\ V_{q}(s)
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
Z_{d}(s) & -Z_{q}(s) \\
Z_{q}(s) & Z_{d}(s)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{d}(s) \\ I_{q}(s)
\end{bmatrix} \tag{4}

ここで,若干数学的に厳密な書き方ではありませんが,

 \begin{align}
Z_{d}(s) &= \mathrm{Re} \left [ Z^{s}(s + j \omega_{1}) \right ] \\
Z_{q}(s) &= \mathrm{Im} \left [ Z^{s}(s + j \omega_{1}) \right ]
\end{align} \tag{5}

と表現できます。ここで,上式で実部と虚部を取り出すReとImを計算する場合,ひとまずラプラス演算子sを実数と見なして計算します。

文献紹介

d-q座標系での任意のインピーダンスの表現方法については,以下の論文にて詳しく述べられております。以下,この論文を「Harnefors氏の論文」と呼ぶことにします。

ieeexplore.ieee.org

Harnefors氏の論文では,上記の(5)式よりも数学的に厳密な書き方をしている他,三相不平衡な場合についての取り扱いについても記載しております。 ただし,三相不平衡な場合については筆者の理解が追い付いていないため煩雑になるため,まず本記事では三相平衡な場合に限定します。

以降,RL直列回路とLCL回路の場合を例に挙げながら,実際に計算していきます。

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Raspberry PiとFlaskでスマートリモコンを作る

はじめに

今回のテーマは「家族の役に立つ工作」です。

泊まりがけの旅行から帰宅すると,戸締まりした部屋の中は真夏であれば蒸し風呂のように,また,真冬であれば冷蔵庫のように感じられます。帰宅する数時間前に外出先からエアコンを運転できれば,家に着く頃には快適な温度になっていることでしょう。このような機能を持ったエアコンも製品化されているようですし,そうでなくても,赤外線リモコンの信号を利用してこのような機能を後付けするための「スマートリモコン」と呼ばれるデバイスが今日では低価格で手に入ります。

また,昨今では天井照明がかつてのような「ヒモ」(正式にはプルスイッチ)ではなく,リモコンで制御されることが多くなって参りましたが,これを留守中にも点灯・消灯することにより,あたかも人が在宅しているかの如く見せ掛けて空き巣防止を狙うこともできます。

今回は,勉強とリハビリを兼ねてRaspberry Pi Zero WHでエアコンと天井照明を制御するスマートリモコンを自作した経緯や結果について書きます。なお,有名なirrp.pyに頼るのではなく,赤外線リモコン信号を送信するためのPythonモジュールを自作しました(と言ってもpigpioモジュールには同じように依存します)。これによって,例えばエアコンの温度設定や運転モードの組み合わせに応じたフレームを生成して送信することができます(学習リモコンの場合,すべての組み合わせを予めひとつひとつ学習しておく必要がありますよね)。

また,インターネットからエアコンや天井照明を制御するため,Flaskと呼ばれるフレームワークを用いたWebアプリを作りました。

なお,Raspberry Piを使って学習リモコンやスマートリモコン,スマートハウスを作るという先行研究は非常に多いので*1,本記事のオリジナリティを問われると「ぐぬぬ…」となってしまいますが,敢えて言えば自作モジュールirxmit.pyの部分でしょうか。また,pigpioライブラリ(モジュール)のwaveform機能について基礎的な部分のみですが,和文で書いた記事は少ないのではないかと推測しています。

完成イメージ

まず,結論として完成したスマートリモコンのハードウェアとそのWebアプリのイメージを記載します。趣味なので仕様書のようなものは作っていませんが,作り始める前に思い描いていたものに近い形で実装することができました。

ハードウェア

図1に自作スマートリモコンHATを取り付けたRaspberry Pi Zero WHを示します。秋月電子通商Raspberry Pi Zero用ユニバーサル基板に手持ちの部品を実装して組み上げました。温湿度センサ,赤外線LEDとそれを駆動するパワーMOSFET,赤外線受光モジュールを搭載しております。思ったよりコンパクトに収まっておりますが,望ましくはOLEDディスプレイやキャラクLCDなど,表示デバイスを搭載できていたらと反省しております。温湿度センサの周りに抵抗器が密集しているのもあまりよろしくないですね。今年中にこれをプリント基板として作り直してみたいと密かに思っています。

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図1: 自作スマートリモコンHATを取り付けたRaspberry Pi Zero WH

Webアプリ

図2に完成したWebアプリのキャプチャ画面を示します。ブラウザ上での見た目はBootstrap 4によってそれっぽく仕上がっております。この裏ではFlaskを用いたPythonのプログラムや,自作の赤外線リモコン信号送信モジュールなどが動いております。また,温湿度のトレンドグラフは馴れ親しんだ(?)Matplotlibで描いております。なお,自宅の家電機器を赤の他人に勝手に制御されると困るので,一応はパスワードで保護しています。これはFlaskのsessionとcookieを使って実現しています。

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図2: Webアプリ画面キャプチャ

実際に動いている様子は動画の方が分かりやすいと思いますので,図3にYouTubeの動画を貼りつけます。

www.youtube.com
図3: FlaskによるWebアプリの動作の様子

おぉ…自分で作ったWebアプリとは思えないような美しさ…❗ 何もかもFlaskとBootstapのお陰ですね💦 たまに温湿度が欠測しているのが玉に瑕です。もう少し工夫が必要かもしれませんね。以下,開発の経緯や具体的な回路,ソフトの作り方について書いていきます。

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Raspberry PiでBLDCモータを120°通電制御する

はじめに

本ブログの前々記事にてブラシレスDC (BLDC)モータの120°通電制御について書きました。STMicroelectronicsのモータ制御開発キットP-NUCLEO-IHM001の制御装置はもちろんSTM32マイコンの載ったNucleo F302R8です。

このNucleoをRaspberry Piに繋ぎ替えてみたら面白いのではないか──。技術的にはほとんど意味のないことかもしれませんが,Raspberry Pi OS(旧称Raspbian)というLinuxが走っている「コンピュータ」であるRaspberry Piでも交流モータを制御できるのかどうか*1,試してみたいじゃありませんか?

インターネット上にはRaspberry PiでBLDCモータを廻している記事も散見されますが,ESC (electronic speed controller)を途中に挿入している場合が多いようです。モータドライブインバータへのゲートパルスをRaspberry Piで直接生成している例は見つけられませんでしたので,ひょっとすると新しい試みなのかもしれません*2。図1にRaspberry Piを接続したBLDCモータ実験システムを示します。

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図1: Raspberry Piを接続したBLDCモータ実験システム

結論として,C言語でpigpioライブラリ(pigpiod_if2.hではなくpigpio.h)を使い,かつ,マルチコアのRaspberry Piでは,Nucleoに肉薄する制御を(120°通電制御という範囲内で)実現できるらしいことが判りました。

当初はPythonで交流モータを廻すという異端を試してみたかったのですが,今のRaspberry Piではまだ難しいようです*3。 以下では,Raspberry Piでモータを廻すに至る経緯や,プログラム実装への試み,実装したC言語プログラム,シングルコアと4コアの比較について述べます。

*1:Raspberry PiリアルタイムOSを載せたり,ベアメタルで使うという記事もありますね。いろんな技術を試してみたいものです。

*2:まぁ,Nucleoみたいな普通のマイコンボードでやろうよという制御ではあるのですが…。

*3:Raspberry Pi PicoのMicroPythonだったらできるかも──などと変なことを考えています。

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LTspice用制御ライブラリContraille ~概要編~

はじめに

随分と間が開いてしまいましたが,如何お過ごしでしょうか? さて,今年(2021年)の元日,ぱわみ社さんより「パワーエレクトロニクス」第2号が発行されましたが,大変光栄なことに,本ブログの内容を基にして私もそこに寄稿させて頂きました。まさか自分がいわゆる〝同人誌〟に参加するなどとは思っていませんでしたが,Twitterでのご縁からこのような機会を頂戴することとなった次第です。

booth.pm rr-inyo.booth.pm

私の記事「LTspiceで三相PWM整流器を作る」の中で,掲題の自作制御ライブラリContrailleを紹介しておりますが,この度,Contrailleを下記に置きましたので,拙い完成度ではありますが,ご興味のある方は試してみて下さると幸いです。

github.com

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ブラシレスDCモータのホールセンサ付き120°通電制御

はじめに

モータ制御への思い

交流電動機の可変速制御──。私のごく個人的な思いに過ぎませんが,そう,それこそがパワエレの本家本元ではないでしょうか。 パワーエレクトロニクスを学び,(ある程度)実践してきた私ですが,モータ制御を理解していないことに後ろめたさを感じております。交流電動機の可変速制御を勉強したいとの思いはあったのですが,ついぞ,今年に入るまで,自堕落な数年間を過ごしてしまっていました。 とは言いながら,机上で教科書を勉強するのみで,モータを実際に触らないとなると,深い理解は得られないだろうとも思っていました。

機は熟す

一方,ARMマイコンC++言語で便利にプログラミングできる「Mbed」というクラウド開発環境が2009年にARMよりリリースされ*1,それに対応する各種マイコンボードがNXPやSTMicroelectronicsより売り出されるようになりました。国内でも秋月電子通商をはじめとして,各種の店舗や通販から容易に入手できるようになっています。

os.mbed.com

また,CQ出版社より,NXPのマイコンLPC1114/301を搭載した超小型のマイコンボード「MARY基板」を付録とする書籍[1]が2011に出版されました。私も2014年にMARY基板を使った温度・湿度・気圧ロガー,通称「MARY気象台」を作り,プログラムをMbedで作って遊んでいました*2

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図1: 通称MARY気象台

そんな中,STMicroelectronicsより,Mbedに対応した「Nucleo」と呼ばれるマイコンボードに,モータドライバ(三相インバータ)基板と小形のブラシレスDCモータをセットにしたモータ制御開発キットP-NUCLEO-IHM001がリリースされました。

www.st.com

Nucleoは秋月電子通商等でも千数百円で簡単に入手できるマイコン基板ですが,それにインバータとモータが付いても,5,000円前後で買えてしまいます。 さらにこの2020年,このP-NUCLEO-IHM001を用いたモータ制御の解説書として,CQ出版社より書籍[2]が発売されました。 これは勉強する好機かもしれない。また,今の私にはLTspice XVIIという強力な味方も付いています。 同じくCQ出版社よりホールIC等やワイヤハーネスを追加したキットが発売されており,私はそれを購入しました。

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図2: 購入したP-NUCLEO-IHM001

センサレスベクトル制御の理解と実装を目指しますが,本記事ではまず,いわゆるホールセンサ付き120°通電制御を実装して試してみます。 制御プログラムはSTMicroelectronicsの統合開発環境STM32CubeIDEを用いて自分で書くことにしました*3。 しかし…最初に立ちはだかる壁は,制御というよりはモータそのものの原理でした…💦

*1:今はさらにMbed OSと呼ばれるRTOSがあって,初期のMbedライブラリ(Mbed OS 2.0)とは区別されているようです。私の知識もアップデートが必要です。

*2:本来はmbedに対応する基板ではありませんが,MARY基板にはNXPのLPC1114/301と接続するUSB-シリアル変換ICが搭載されており,Mbedで作成したプログラムを,別途用意したツールからUSBケーブル経由で書き込むと,プログラムがきちんと動作します。

*3:Mbedに移行するかもしれません。

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LTspiceで三相PWM整流器を作る ~直流電圧制御編~

はじめに

三相PWM整流器および単相を含む一般の系統連系変換器においては,交流電流制御系の上位(外側)に直流電圧制御系を設けます。 直流電圧を制御するためには交流電流を制御する必要があるとも言えます。

マイナーループである電流制御系に対して,直流電圧制御系のゲインが高過ぎると,系全体として不安定になることは容易に想像できます。 例えてみれば,部下が仕事を終えないうちに,上司がまた新しい仕事を積み上げる…そんな感じになるからです。 したがって,直流電圧制御系の制御応答を電流制御系のそれより遅くしなければならない,とよく言われています。 私もこれを口伝のように教わってきましたが,しかし,具体的にどのような状況で,また,どのようなメカニズムで不安定になるのか,噛み砕いて理解・消化できておりませんでした。

そこで本記事では,本ブログで扱ってきたLTspiceによる三相PWM整流器を例に,直流電圧制御系の小信号モデルを立てます。 安定性や外乱応答についてナイキスト線図やボード線図を描き,LTspiceによる過渡解析(.TRAN解析)の結果と比較してみます。

ナイーブな考え方

どのような考え方か

図1に本ブログで扱っている三相PWM整流器の概略図を示します。

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図1: 三相PWM整流器とフェーザ図

LTspiceによるモデル構築,シミュレーションの様子やd-q座標系での等価回路の導出については,本ブログの過去の記事をご参照下さい*1*2。 なお,図1では電流の方向として変換器から系統に流出する方向を正にとっていますが,以下の議論では,流入する方向を正にとっています…💦 分かり難くて大変申し訳ありません…。

直流電圧vdcを制御するためには,直流電圧指令値vdc*と実際の値vdcとの誤差に基づいたPI(比例積分)制御にて,有効電力に相当するd軸電流の指令値id*を生成する,というのが基本的な考え方かと存じます。 もう少し具体的に描くと,図2,3のように表現できそうです。 d軸電流idと系統電圧のd軸成分vsd*3によって電力pが形成され,それと同じ電力pを生み出す直流電流idcコンデンサCと抵抗器RLに流れ込む…。ごく自然な考え方ですね。 なお,コンデンサではエネルギーが電圧の2乗に比例するため,本来は非線形なシステムになります*4。 したがって,図3は動作点の近傍での小信号モデルとして描いており,各物理量には動作点からの摂動を表す「Δ」を付しています。 直流電流ΔIdcは,電力ΔPを動作点での直流電圧Vdcで除したものとして書けます*5

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図2: 直流電圧制御系のモデル(ナイーブなもの)

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図3: 直流電圧制御系の小信号ブロック線図(ナイーブなもの)

図3中のGc(s)は電流制御系の伝達関数(後述の図4中のGc(s)に相当)です。 直流電圧制御系の応答速度が電流制御系のそれよりも十分遅ければ,Gc(s) ≈ 1と近似しても良いでしょう。 しかし,本記事ではそれができない場合の挙動を明らかにしたいと思います。

ここでは両図に「ナイーブなもの」と注記を付けました。naïveとは,Weblio辞書によれば,

(特に若いために)世間知らずの; 単純[素朴]な; 純真[うぶ]な; だまされやすい.

との意です*6。 そう,結論から言うと,この考え方では三相PWM整流器の挙動をうまく表現できておりませんでした…💦 何がダメだったのでしょうか?

*1:https://negligible.hatenablog.com/entry/2020/09/07/043141

*2:https://negligible.hatenablog.com/entry/2020/09/30/023013

*3:PLLが正常に働いていれば,系統電圧のq軸成分vsq = 0になります。

*4:直流電圧制御系は,直流電圧そのものではなく,その2乗を制御したほうが何かと都合が良いのではないかと昔から考えています。

*5:vac × idc = pとし,同じpがある決まった直流電圧vdcを有する系に流入したとすれば,直流電流idcはpをvdcで割ったものとして書けますね。

*6:https://ejje.weblio.jp/content/na%C3%AFve

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