連続系の代表的な伝達関数の双一次変換による離散化

はじめに

連続系では1次遅れ要素や2次遅れ要素など，代表的な伝達関数というものがあります，例えば，

$G_{1}(s) = \displaystyle \frac{\omega_{n}}{s + \omega_{n}}, \quad G_{2}(s) = \displaystyle \frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2} + 2 \zeta \omega_{n} s + \omega_{n}^{2}} \tag{1}$

などですね。

制御器やフィルタなどをもともと連続系で考えていた場合，マイコンやFPGAに実装しようとする際には離散系に変換する必要が生じます。このときのテクニックのひとつに双一次変換（bilinear transformまたはTustin transformとも）があります。これは，

$s = \displaystyle \frac{2}{T_{s}} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \tag{2}$

として， $s$ 領域の伝達関数を $z$ 領域の伝達関数に変換する手法です。ここで $T_{s}$ はサンプリング周期です。

動機と方法

双一次変換については，各種教科書・参考書で「変換できる」という記述は見掛けるのですが，実際に（記号計算として）変換した結果はあまり見たことがありませんでした。そこで，Pythonの数式処理ライブラリSymPyを用いて，計算してみることにしました。

結果

連続系の様々な伝達関数を双一次変換してみました。結果は下表をご覧下さい。

要素名	連続系における伝達関数	双一次変換に基づく離散系における伝達関数
積分要素	$\displaystyle \frac{1}{s T}$	$\displaystyle \frac{\frac{T _ {s}}{2 T} + \frac{T _ {s}}{2 T} z^{-1}}{1 - z^{-1}}$
1次LPF (1)	$\displaystyle \frac{1}{1 + sT}$	$\displaystyle \frac{\frac{T _ {s}}{T _ {s} + 2 T} + \frac{T _ {s}}{T _ {s} + 2 T} z^{-1}}{1 - \frac{2 T - T _ {s}}{2 T + T _ {s}} z^{-1}}$
1次LPF (2)	$\displaystyle \frac{\omega _ {n}}{s + \omega _ {n}}$	$\displaystyle \frac{\frac{\omega _ {n} T _ {s}}{\omega _ {n} T _ {s} + 2} + \frac{\omega _ {n} T _ {s}}{\omega _ {n} T _ {s} + 2} z^{-1}}{1 - \frac{2 - \omega _ {n} T _ {s}}{2 + \omega _ {n} T _ {s}} z^{-1}}$
1次HPF (1)	$\displaystyle \frac{s T}{1 + s T}$	$\displaystyle \frac{\frac{2 T}{T _ {s} + 2 T} - \frac{2 T}{T _ {s} + 2 T} z^{-1}}{1 - \frac{2 T - T _ {s}}{2 T + T _ {s}} z^{-1}}$
1次HPF (2)	$\displaystyle \frac{s}{s + \omega _ {n}}$	$\displaystyle \frac{\frac{2}{\omega _ {n} T _ {s} + 2} - \frac{2}{\omega _ {n} T _ {s} + 2} z^{-1}}{1 - \frac{2 - \omega _ {n} T _ {s}}{2 + \omega _ {n} T _ {s}} z^{-1}}$
2次LPF	$\displaystyle \frac{\omega _ {n}^{2}}{s^{2} + 2 \zeta \omega _ {n} s + \omega _ {n}^{2}}$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{1 + M + N} + \frac{2}{1 + M + N} z^{-1} + \frac{1}{1 + M + N} z^{-2}}{1 + \frac{2 (1 - N)}{1 + M + N} z^{-1} + \frac{1 - M + N}{1 + M + N} z^{-2}}$
2次HPF	$\displaystyle \frac{s^{2}}{s^{2} + 2 \zeta \omega _ {n} s + \omega _ {n}^{2}}$	$\displaystyle \frac{\frac{N}{1 + M + N} - \frac{2 N}{1 + M + N} z^{-1} + \frac{N}{1 + M + N} z^{-2}}{1 + \frac{2 (1 - N)}{1 + M + N} z^{-1} + \frac{1 - M + N}{1 + M + N} z^{-2}}$
2次BPF	$\displaystyle \frac{2 \zeta \omega _ {n} s}{s^{2} + 2 \zeta \omega _ {n} s + \omega _ {n}^{2}}$	$\displaystyle \frac{\frac{M}{1 + M + N} - \frac{M}{1 + M + N} z^{-2}}{1 + \frac{2 (1 - N)}{1 + M + N} z^{-1} + \frac{1 - M + N}{1 + M + N} z^{-2}}$
2次BEF	$\displaystyle \frac{s^{2} + \omega _ {n}^{2}}{s^{2} + 2 \zeta \omega _ {n} s + \omega _ {n}^{2}}$	$\displaystyle \frac{\frac{1 + N}{1 + M + N} + \frac{2 (1 - N)}{1 + M + N} z^{-1} + \frac{1 + N}{1 + M + N}}{1 + \frac{2 (1 - N)}{1 + M + N} z^{-1} + \frac{1 - M + N}{1 + M + N} z^{-2}}$
位相遅れ補償	$\alpha \displaystyle \frac{T _ {1} s + 1}{\alpha T _ {1} s + 1}, \quad (\alpha \gt 0)$	$\displaystyle \frac{\frac{\alpha (T _ {s} + 2 T _ {1})}{T _ {s} + 2 \alpha T _ {1}} + \frac{\alpha (T _ {s} - 2 T _ {1})}{T _ {s} + 2 \alpha T _ {1}} z^{-1}}{1 + \frac{T _ {s} - 2 \alpha T _ {1}}{T _ {s} + 2 \alpha T _ {1}} z^{-1}}$
位相進み補償	$\displaystyle \frac{T _ {2} s + 1}{\beta T _ {2} s + 1}, \quad (\beta \lt 0)$	$\displaystyle \frac{\frac{T _ {s} + 2 T _ {2}}{T _ {s} + 2 \beta T _ {2}} + \frac{T _ {s} - 2 T _ {2}}{T _ {s} + 2 \beta T _ {2}} z^{-1}}{1 + \frac{T _ {s} - 2 \beta T _ {2}}{T _ {s} + 2 \beta T _ {2}} z^{-1}}$

ただし，

$s = \displaystyle \frac{2}{T _ {s}} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}，\quad M = \displaystyle \frac{4 \zeta}{\omega _ {n} T _ {s}}, \quad N =\displaystyle \frac{4}{\omega _ {n}^{2} T _ {s}^{2}} \tag{3}$

です。

なお，SymPyでの数式処理については，GitHubにJupyter Notebookを置いておきましたのでご興味がございましたらご覧ください。

github.com

ただし…！微分要素は意図したとおりに動いていないので，このブログの上表からは除いてあります…！

LTspice XVIIへの実装と確認

後日このブログにも書きたいと思いますが，LTspiceでもステートマシンを記述する".machine"文をうまく使うと，サンプリングを（力技ながら）表現できます。上表の $z$ 領域での伝達関数は分母における $z$ の0次の項が1となるように整理しています。この場合，下記のすずむしさんのブログ記事のようにIIRフィルタを実装できます。

suzumushi0.hatenablog.com

これをLTspiceに実装し，上記の変換表が正しいのかどうか，確認してみました。